Cours de mathématiques : Équation du second degré

Résolution de l' équation à deux termes.

Prenons l' équation composée d' un terme en x² et d' un terme connu, par exemple

3x² - 12 = 0,

ou, ce qui est la même chose,

3x² = 12.

en divisant d' abord les deux membres par le coefficient de x², on a

x² = 4.

Puisque le carré de l' inconnue est égal à 4, l' inconnue est elle-même égale à la racine de 4, et par conséquent égale à 2. Mais au point de vue algébrique, le nombre négatif -2 multiplié par lui-même donne +4 pour produit, comme +2, donc -2 est aussi bien la racine carré de 4 que +2; c' est ce qu' on écrit ainsi

x = ±√4 = ±2.

On l' énonce en disant : x égale plus ou moins 2.

Ainsi tout nombre positif a deux racines carrés, qui sont égales en valeur absolue avec des signes contraires.

Soit résoudre l' équation :

x² - 4 = 0,

on peut aussi résoudre l' équation en utilisant l' identité remarquable suivante, a²-b²=(a+b)(a-b)

(x - 2)(x +2) = 0

x - 2 = 0    ou    x + 2 = 0

x = 2          ou    x = -2 .

Soit résoudre l' équation :

Prenons maintenant l' équation composée d' un terme en et d' un terme en x, par exemple :

3x² - 5x = 0.

En mettant x e n facteur commun des deux termes, on a :

(3x - 5) × x = 0.

Les racines des équations sont les valeurs qui, substituées à x, rendront le premiers membre égal à 0. Or si on remplace x par 0, le premier facteur devient égal à -5; et le second facteur étant 0, le premier membre est

-5 × 0 ou 0;

donc 0 est une racine de l' équation.

Cherchons maintenant la valeur qui, mise à la place de x, rendrait 3x - 5 égal à 0, et pour cela posons

3x - 5 = 0.

On en déduit x = 5/3.

Cette valeur 5/3 mise à la place de x annule le premier membre, car il devient alors 0 × 5/3 ou 0; c' est donc une deuxième racine de l' équation.

En résumé, quand l' équation. du deuxième degré ne contient que deux termes, l' un en x² et l' autre en x, l' une de ses deux racines est 0. Pour avoir l' autre, on divise l' équation. par x , ce qui donne une équation du premier degré, et c' est en résolvant cette équation qu' on obtient la deuxième racine.