Cours de mathématiques : Discriminant et signe d' un trinôme.
Autre méthode de résolution.
On peut résoudre l' équation sans la diviser par le coefficient du carré de l' inconnue, c' est à dire en lui conservant la forme :
ax2 + bx + c = 0
où a,b,c sont des réels connus avec a non nul.
pour cela on a d' abord :
ax2 + bx = -c.
On multiplie tous les termes par 4a, ce qui donne :
4a2x2 + 4abx = -4ac.
(2ax)2 + 2ax × 2b + b2 - b2 = -4ac on reconnaît une identité remarquable
( 2ax + b )2 - b2 = -4ac
( 2ax + b )2 = b2 - 4ac.
De là on pose delta la quantité b2 - 4a; soit 
que
l' on nomme le discriminant du trinôme ax2 + bx + c.
Supposons que Δ soit négatif, or ( 2ax + b )2 est nécessairement positif, alors il n' existe aucune solution réelle.
Si Δ < 0 alors l' équation n' admet aucune solution réelle.
Supposons que Δ soit nul, alors l' équation devient :
( 2ax + b )2 = 0
2ax + b = 0
x = -b/2a.
Si Δ = 0 alors l' équation admet une solution double x = -b/2a.
Supposons que Δ soit strictement positif, alors l' équation devient
2ax + b = ± √Δ et l' équation admet deux solutions réelles et distinctes suivantes :
x' =( -b + √Δ ) / 2a et x' =( -b -√Δ ) / 2a.
Si Δ >0 alors l' équation admet deux solutions réelles et distinctes
x' =( -b + √Δ ) / 2a et x' =( -b -√Δ ) / 2a
ou encore : 
et
.
Factorisation d' un trinôme et signe d' un trinôme.
Soit ax2 + bx + c où a,b,c sont des réels connus avec a non nul. On peut factoriser le trinôme sous la forme suivante :
ax2 + bx + c = a [ x2 + bx/a + c/a ] = a [ x2 + bx/a + b2/4a2 + c/a - b2/4a2]
= a [ x2 + bx/a + b2/4a2 + 4ac/4a2 - b2/4a2]
= a [ ( x + b/2a )2 + (4ac- b2) /4a2 ]
= a [ ( x + b/2a )2 - Δ/4a2 ].
est appelé la
forme canonique du trinome.
Si Δ est strictement négatif alors la quantité ( x + b/2a )2 - Δ/4a2 est strictement positif pour tout réel x et le trinôme est du signe de a pour tout réel x.
Si Δ est nul alors alors la quantité ( x + b/2a )2 est positif pour tout réel x différent de -b/2a et le trinôme est du signe de a pour tout réel x différent de -b/2a..
Si Δ est strictement positif alors le trinôme admet 2 racines et la factorisation suivante :
a [ x - (-b - √Δ)/2a ] [ x - (-b + √Δ)/2a ]
ou encore : 
.
Le trinôme est du signe de -a à l' intérieur des racines, c' est à dire
pour tout x compris entre et .