Cours de mathématiques : Équation du second degré
Discussion des racines.
Discuter des racines, c'est chercher à quels caractères on reconnaît, à la vue des coefficients de l' équation, et sans la résoudre, si ses racines sont réelles ou imaginaires.
Reprenons l' équation générale
x2 + px + q = 0
et ses racines
x = -p/2 ± √(p2/4 - q)
ou encore : 
.
D' abord quelque soit le signe du coefficient p dans l' équation, le terme p2/4, qui le carré de p/2, est toujours un nombre positif.
Supposons q négatif dans l' équation, porté sous le radical avec un signe contraire, il devient positif et s'ajoute à p2/4; dont la quantité placée sous la racine est toujours positive et par la suite les deux racines sont réelles. En outre comme leur produits, qui est égale à q, est négatif, elle sont de signes contraires.
Si q<0 alors il existe deux racines réelles, distinctes et de signe contraire.
Supposons que q est positif dans l' équation Dans ce cas, sa valeur doit être retranchée de p2/4 sous le radical. il y a alors 2 cas possible.
Soit q est inférieur à p2/4, alors la quantité placée sous le radical est positive et les racines sont réelles. Elle sont du même signe , puisque le produit est positif; ce signe est contraire à celui du coefficient p, puisque ce coefficient est égale à la somme des racines changée de signe.
Si q>0 et q<p2/4 alors il existe deux racines réelles, distinctes et même signe.
Si q est égal à p2/4, la valeur du radical se réduit à 0 et les deux racines sont égales à -p/2. Dans ce cas, le trinôme du premier membre de l'équation
x2 + px + p2/4 = 0
est un carré parfait; c'est le carré de (x + p/2)2.
Si q=p2/4 alors il existe une seule racine double égale à -p/2.
Si q est plus grand que p2/4, la quantité (p2/4 - q) est un nombre négatif; par conséquent il n'existe pas de racine réelle.