cours de mathématiques : relation entre les racines et les coefficients d'une équation du second degré.

Cours de mathématiques : Équation du second degré

Relation entre les racines et les coefficients

Quand l'équation du second degré a la forme :

x2 + px + q = 0,

Le coefficient p est égal à la somme des racines changée du signe, et le terme connu q est égal au produit des deux racines.

En effet, faisons la somme des deux racines

x' = -p/2 + √(p2/4 - q)

x" = -p/2 -√(p2/4 - q)

nous aurons

x' + x" = -p/2 -p/2 + √(p2/4 - q) -√(p2/4 - q)

x' + x" = -p.

Pour avoir le produit des racines, observons que la premiere est la somme des deux quantités

-p/2 et √(p2/4 - q)

et que la seconde est la différence de ces mêmes quantités;

x' × x" = [-p/2 + √(p2/4 - q)][-p/2 -√(p2/4 - q)]

x' × x" = (-p/2)2 - (√(p2/4 - q)2

x' × x" = p2/4 - p2/4 + q

x' × x" = q.

Remarque

Ce principe fournit le moyen de former une équation dont les racines sont connues. On veut par exemple former une équation dont les racines sont 4 et -3.

Le premier terme étant toujours x2, on donnera à x un coefficient égale à la somme 4 + (-3) en changeant son signe, et on prendra 4×(-3) pour le terme connu. L'équation cherchée est donc:

x2 - x -12 = 0.

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