Cours de mathématiques : Équation du second degré
Relation entre les racines et les coefficients
Quand l'équation du second degré a la forme :
x2 + px + q = 0,
Le coefficient p est égal à la somme des racines changée du signe, et le terme connu q est égal au produit des deux racines.
En effet, faisons la somme des deux racines
x' = -p/2 + √(p2/4 - q)
x" = -p/2 -√(p2/4 - q)
nous aurons
x' + x" = -p/2 -p/2 + √(p2/4 - q) -√(p2/4 - q)
x' + x" = -p.
Pour avoir le produit des racines, observons que la premiere est la somme des deux quantités
-p/2 et √(p2/4 - q)
et que la seconde est la différence de ces mêmes quantités;
x' × x" = [-p/2 + √(p2/4 - q)][-p/2 -√(p2/4 - q)]
x' × x" = (-p/2)2 - (√(p2/4 - q)2
x' × x" = p2/4 - p2/4 + q
x' × x" = q.
Remarque
Ce principe fournit le moyen de former une équation dont les racines sont connues. On veut par exemple former une équation dont les racines sont 4 et -3.
Le premier terme étant toujours x2, on donnera à x un coefficient égale à la somme 4 + (-3) en changeant son signe, et on prendra 4×(-3) pour le terme connu. L'équation cherchée est donc:
x2 - x -12 = 0.